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十二平均律（第2页）

所有的波（包括机械波、电磁波、引力波等）都有三个最本质的特性：频率波长、振幅、相位。

对于机械波（声波）来说，在相同声速下，机械波的波长决定了这个音的音调，机械波的振幅决定了这个音的大小（强度），而人耳对于相位不敏感，所以研究音乐时一般不考虑机械波的相位问题。

波长比例

由于弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一，加上波长和弦长的正比关系，所以这种现象古人早已熟悉。

他们自然会想试试按其它的位置。

数学上1:2是最简单的比例关系了，简单性仅次于它的就是1:3。

如果按住弦的13点，其结果是弦发出了两个高一些的音。

一个音的波长是原来的13（因为弦长变成了原来的13），另一个音是原来的23（因为弦长变成了原来的23）。

这两个音彼此也是八度音程的关系（因为它们彼此的弦长比是2:1）。

这样，在λ2-λ的范围内，出现了第一个重要的波长，即23λ，也就是五度关系。

（那个λ3的波长正好处于下一个八度，即λ4-λ2中的同样位置。

）

接着再试，数学上简单性仅次于1:3的是1:4，按弦的14点，又出现了两个音。

一个音的波长是原来的14（因为弦长变成了原来的14），这和原来的音（术语叫“主音”

）是两个八度音程的关系，可以不去管它。

另一个音的波长是主音的34（因为弦长是原来的34）。

34λ是一个重要的波长。

同一根弦，在不同的情况下发出机械波，可以发出很多波长的声音。

在听觉上，与主音λ最和谐的就是23λ和34λ（除了主音的各个八度之外）。

这个现象也被很多民族分别发现了。

比如最早从数学上研究弦的长度问题的古希腊哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前6世纪）。

我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》也记载了所谓“三分损益律”

。

具体说来是取一段弦，“三分损一”

，即均分弦为三段，舍一留二，便得到23λ。

如果“三分益一”

，即弦均分三段后再加一段，便得到34λ。

因为听觉上15λ、16λ与主音的和谐程度远不及23λ、34λ。

古人于是换了一种方法。

与主音λ最和谐的23λ已经找到了，他们转而找23λ的23λ，即与最和谐的那个音最和谐的音，这样就得到了（23）^2λ即49λ。

这已经低于了λ2的范围，进入了左边一个八度，但下一个八度中的音，在这一个八度中当然有与它等价的一个音，于是把49λ的波长加倍，便得到了89λ。

接着把这个过程循环一遍，找23的3次方，于是就有了827λ，这也在左边一个八度中，再次波长加倍，得到了1627λ。

最理想的情况是某一次循环之后，会得到主音的某一个八度，这样就算是“回到”

了主音上，不用继续找下去了。

可是（23）^n，只要n是自然数，其结果都不会是整数，更不用说是2的某次方。

律学所有的麻烦就此开始。

数学

近似思想

回到计算不相等的问题，数学上不可能的事，只能从数学上想办法。