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第52章 我陆时羡宝刀未老（第1页）

第一题是一道代数题，an是一道多项式之和，求证：当正整数n≥2时，a（n+1）＜an。

刚看见这题的时候，陆时羡还有些没有思路，于是一下子就顿在那里了。

毕竟纯粹的代数题，非常考验人的逻辑联系思维能力。

难道连第一道证明题都做不出来？这已经是最简单的了。

陆时羡忽然紧张起来，如果连第一题都做不出来，绝对是对他后面题目解答的一个巨大打击。

他轻吐一口气，慢慢迫使自己平静下来。

越是紧张越不能着急。

陆时羡再次审题，忽然发现自己陷入了一个误区，证明这种比大小的题目，何必将其分别代入后再比呢？

他只需要转换一下思维方式。

A与B比大小也可以转换成A与B比差或者A与B比商。

如果A-B最后的结果大于零，或者AB的结果大于1，那就可以说明A大于B。

想到这，陆时羡的眼睛越来越亮。

他在草稿纸上飞快地验算，对于an式，可以利用乘法分配律将n+1单独分离出来。

再得出对任意的正整数n≥2，an-a（n+1）最后的简化式。

最后证明简化式大于零。

故a（n+1）＜an。

此题得证。

将这道题解决，陆时羡长松一口气，开始看下一题。

第二题是一道平面解析几何。

题目大意是对勾函数和一条直线得到的两个交点，然后求交点在对勾函数上两条切线的交点轨迹是多少？

不得不说，如果逻辑思维能力不够，光是看题目就足够让你看晕了。

不过说起来，这种题还是陆时羡的强项，他在数学里最擅长的就是将图形转化成代数。

无非就是求交点的坐标。

根据给出的条件联立方程组，由题意知，该方程在（0，+∞）上有两个相异的实根x1、x2，故k≠1，且Δ（1）式u003d1+4（k?1）＞0，两个实根之和（2）式与之积（3）式都大于零。

由此可以得出直线的斜率k的取值范围，最后对对勾函数进行求导

化简得到直线l1和l2的方程（4）式和（5）式

（4）式-（5）式得xp的函数表达式（6）式

将（2）（3）两式代入（6）式得xpu003d2

（4）式+（5）式得yp的函数表达式（7）式

将（2）（3）的组合式代入（7）式得2ypu003d（3?2k）xp+2，而xpu003d2，得ypu003d4?2k

根据斜率k的取值范围2＜yp＜2。

5

即点P的轨迹为（2，2），（2，2。

5）两点间的线段（不含端点）

陆时羡写完这题，考试时间已经只剩下四十分钟了。

第二道大题还真的不难，思路很简单，就是计算过程有些复杂，同时也比较费时间，光这一个题目就花了他几十分钟。

来不及吐槽，陆时羡赶紧望向第三大题，

设函数f（x）对所有的实数x都满足f（x+2π）u003df（x）。

求证：存在4个函数fi（x）（iu003d1，2，3，4）满足：

（1）对iu003d1，2，3，4，fi（x）是偶函数，且对任意的实数x，有fi（x+π）u003dfi（x）；

（2）对任意的实数x，有f（x）u003df1（x）+f2（x）cosx+f3（x）sinx+f4（x）sin2x。